AI מפריך את השערת מרחק היחידה

ב-1946 פאול ארדש, מגדולי המתמטיקאיים בהיסטוריה ואולי האקצנטרי שבהם (ממליץ בחום על הביוגרפיה שלו, "האיש שאהב רק מספרים") – ניסח את השערת מרחק היחידה (Unit distance conjecture). שאלה מתמטית שקל לנסח, אך קשה לפתור.

👈️ קחו כמה נקודות (נהוג לאמר "n נקודות", כשמספר הנקודות שלקחתם הוא n).
👈️ ציירו אותן, איך שבא לכם, על דף נייר.
👈️ תוסיפו קו בין כל שתי נקודות אם המרחק ביניהן (לפי איפה שהחלטתם לצייר אותן) הוא סנטימטר.

הבעיה היא:איך לצייר את הנקודות על הדף כך שתקבלו הכי הרבה קווים?

אם אתם מציירים את הנקודות בשורה, כל אחת במרחק סנטימטר אחת מהשניה, אז מספר הקויים הוא n-1. זה קל.

אם אתם מסדרים את הנקודות בצורת רשת מרובעים נגיד, כמו במחברת משבצות, אז אתם מקבלים משהו שקרוב ל-2n (אם אתם רוצים לבדוק את זה בעצמכם, צריך לבדוק מספרים יחסית גדולים של נקודות – רק שתדעו).

השערת ארדש היא שהגודל המקסימלי שמקבלים הוא "קרוב" למה שמקבלים ברשת מרובעים. יש סידורים אולי שאפשר להשיג בהם טיפה יותר קווים, אבל ככל שמספר הנקודות יותר גדול – על פי השערת ארדש – ההבדל הוא זניח.

שמונים שנה ההשערה הזאת הייתה פתוחה. היטלר מת, סטלין מת, ועוד כמה ששכחנו את שמם – ועדיין השערת ארדש נשארה פתוחה. זאת כנראה הבעיה הפתוחה המפורסמת ביותר בגיאומטריה דיסקרטית ע"פ נגה אלון (מתמטיקאי ישראלי אגדי). כל מתמטיקאי בתחום הגיאומטריה הדיסקרטית – שזה לא אני אגב – ניסה כנראה מתישהו לפתור אותה, ונכשל. זאת בהחלט מהבעיות שאתה אומר שהוכחה שלהן תערב רעיון מתמטי גאוני חדש. משהו שיקפיץ את התחום קדימה.

ב-20 למאי 2026 מודל של OpenAI פתר את  השערת מרחק היחידה במישור.

המודל לא הוכיח את ההשערה! נהפוך הוא: הוא הפריך אותה. כלומר, הוא ה-AI בנה דוגמא בה יש יותר קווים ממה שארדש חשב שאפשרי. קהילה המתמטיקה מנסה מאז להבין מה המשמעות של זה לגבי עתיד התחום. יש בלבול רב.

בניגוד לפוסטים אחרים לא מדובר בנושא אזוטרי שרק לי איכפת ממנו ורק אני כותב עליו.  המון מקומות כבר בעברית כתבו עליו: ידיעות אחרונות (מאחורי קיר תשלום),  כלכליסט (שפיקפקו בתוצאה למרות שהיה ברור בזמן הכתבה שלהם כבר שהיא נכונה) וישראל היום. במדיות החברתיות דניאל בחמט נתן סקירה נהדרת בטוויטר. מומלץ לקרוא אותה אם אתם רוצים הבנה מהירה. לא מצאתי סקירה איכותית בעברית במדיות חברתיות יותר ידידותיות לסביבה. אם תמצאו – שתפו בתגובות.

באנגלית כמובן כתבו על זה מפה ועד הודעה חדשה. אתן כמה לינקים בהמשך הטקסט ובסוף.

אז האם יש לי משהו חדש לאמר על הנושא? לא. בשלב הזה אין לאף אחד בעולם משהו חכם להוסיף על הנושא. כל המומחים לדבר כבר התבטאו; כל החובבנים כבר סיכמו אותו. אבל בכל זאת בא לי לסכם את המאורע בדרכי שלי.

[ציור של אחת הדוגמאות הנגדיות שעשה אלוואנו לוזאנו רובלדו. העיגולים הצהובים הם הנקודות. הוא יצר את זה עם AI, כי לאף אחד כבר אין סטייל כיום לעשות משהו ידנית. הציור מבלבל כי הקווים הכחולים לא בגודל סנטימטר. אני מניח שזה ציור תלת-מימדי או במימדים יותר גבוהים של הפתרון – אבל זה ניחוש כי לא התעמקתי]

נסכם שוב את השתלשלות המאורעות:
👈️ לפני 80 שנה ארדש הציע השערה מפורסמת.
👈️ המון אנשים ניסו להוכיח אותה במהלך השנים.
👈️ שבוע שעבר בא AI והפריך אותה: בנה דוגמא נגדית.

נכון שהאבק טרם שקע, אך אסתכן ואחזה שהיסטורית זה מאורע שיזכר כמו הוכחת משפט ארבעת הצבעים. גם בעיית ארבעת הצבעים הייתה בעיה שהייתה פתוחה המון שנים (מ-1858!) עד שב-1976 הוכיחו אותה בעזרת מחשב. מחשב רגיל, לא AI. זאת הייתה הבעיה המפורסמת הראשונה שהוכחה בעזרת מחשב. מאז הוכיחו בעיות רבות נוספות בעזרת מחשב. דוגמא טרייה יש לנו בפוסט שלי על השערת הרץ הבודד. אבל כולם זוכרים רק את הבעיה הראשונה שהוכחה: משפט ארבעת הצבעים.

אגב, אותו פאול ארדש שניסח את השערת מרחק היחידה אמר על הוכחת בעית ארבעת הצבעים:

"אני לא מומחה לבעית ארבעת הצבעים, אבל אני מניח שההוכחה נכונה. עם זאת, היא לא יפה. הייתי מעדיף לראות הוכחה שנותנת אינסייט לגבי למה מספיקים ארבעה צבעים."

האם אותו הדבר יהיה במקרה שלנו? כלומר, נראה עוד הרבה הוכחות AI לבעיות גדולות בשנים הקרובות (וודאי שנראה), אבל נזכור את השערת מרחק היחידה יותר מכולן בגלל שהיא הראשונה? אני מהמר שכן.

בצוותא עם פירסום ההוכחה OpenAI גם פירסמו "מאמר" בו מתמטיקאיים מפורסמים כותבים את דעתם על משמעות ההוכחה. המרכאות הכפולות הן בגלל ש-OpenAI עטפו את זה להיראות כמו מאמר מדעי, אבל בתכל'ס זאת כתבת צבע של עיתון.

בכתבה יש אנשים מעניינים. נוגה אלון שלנו, אחד האנשים שכתבו הכי הרבה מאמרים מתמטיים בהיסטוריה, או תומס בלום שמתפעל את האתר erdosproblems.com, למשל. אבל אני אתמקד פה בשלושה ספציפיים.

1. טימותי גאוורס. מתמטיקאי בריטי ותיק, זוכה מדליית פילדס, ואיש עם ידע אינצקלופדי של מתמטיקה. הוא ניסה לנתח את הבעיה הכי חשובה שאפשר לנסח כיום: מה ההבדל בין יכולת ה-AI לבין היכולת האנושית? כלומר, ברור שיש דברים שמחשבים יכולים לעשות ואנחנו לא (להכפיל שני מספרים ענקיים, לדוגמא). אבל האם יש דברים שאנחנו יכולים והם לא?

גם לפני עידן ה-AI לא הייתה תשובה לזה. פשוט היה קונצנזוס שהנה – את זה אנחנו עושים ומחשב לא מצליח (לפתור בעיות מתמטיות, נגיד). הקונצנזוס הזה מתערער עכשיו, ואף אחד לא יודע איך לכתוב אותו בצורה פורמלית. חלק מהבעיה היא שלא יודעים להגדיר "מה בני אדם יכולים לעשות".

גאוורס הציע אבל מבחן יפה למתמטיקה. הוא אמר: אחת הסיבות שלא פתרו את ההשערה קודם היא שאנשים פשוט הלכו לכיוון הלא נכון. הם השקיעו מאמצים בלנסות להוכיח אותה, במקום בלהפריך. יש סוג של קונצנזוס בקהילה שאם הייתם נותנים למתמטיקאי מהתחום את הרמז, "יש דוגמא נגדית", הוא היה מצליח למצוא דוגמא נגדית – כמו ה-AI.

לכן גאוורס מציע להגדיר בעיה לפי כמה רמזים צריך כדי לפתור אותה. אם זה רמז אחד, כמו פה, יש סיכוי שה-AI יצליח. אבל ככל שמספר הרמזים שצריך יגדל, הסיכוי של ה-AI לפתור אותה יקטן. אבל האם בני אדם יכולים לפתור בעיה שצריך הרבה רמזים כדי לפתור אותה בקלות? לא ידוע.

2. מלאני מאצ'ט ווד, פרופסורית מהווארד. היא הצביעה על בעית אתית. כשמתמטיקאי כותב מאמר ומשתמש בכל מיני שיטות בהוכחה, הוא מצטט מי המציא את השיטה ואיפה. הקורא מניח שאם יש שיטה בלי ציטוט, אז המתמטיקאי המציא אותה בעצמו (או שהיא ממש מפורסמת, וגם אז לא צריך ציטוט). ה-AI לוקח שיטות מהמון מקומות, אבל מצטט מעט מאד מהן במאמר. אתי זה לא.

3. וויל סאבין (Will Sawin). הוא היחיד שכתב התרשמות מתמטית טכנית ולא מאמר דעה. לכן הוא גם הראשון ששיפר את ההוכחה של ה-AI. ספציפית, הוא הצליח למצוא דוגמא שגדלה מעריכית בקצב 1.014 (כמה שהקצב יותר גדול, זה יותר טוב). סאבין בנה את הדוגמא בלי AI. הוא אומר שהוא לא רצה לזהם את דיון ה-AI מול האדם.

אחרי זה אנשים שכן השתמשו ב-AI מהר מאד שיפרו את החישובים בדוגמא של סאבין שמונה פעמים והגיעו עד 1.03583 ב-25 למאי. מאז שקט ואולי סיימנו את הגל הזה. אתם יכולים לראות את כל הגרסאות והשיפורים פה.

לסיום קריאה: שווה מאד לקרוא את הפוסט של גיל קלעי מהאוניברסיטה העברית על הבעיה. מעבר להתרשמות הוא אינדקס חדשות על איך הסיפור מפתח. גם הפוסט של סקוט אהרונסון על האירוע מומלץ. הוא לוקח את הצד בדיון שאומר שאלו הימים האחרונים של המתמטיקאיים.

מה שברור מהאירוע זה שיש בעיות מתמטיות ש-AI ממש טוב בהן. לכן כולם מכוונים עכשיו את ה-AI שלהם לנסות לפתור בעיות פתוחות. הרבה מהתוצאות זה שטויות, כשלונות ושגיאות, אבל לא מעט פעמים יש הצלחה – וכשיש הצלחה זה מרשים מאד.

מה שלא בטוח זה איזה בעיות מתמטיות ה-AI לא יכול לפתור עדיין? מה שעוד לא בטוח זה עד כמה ה-AI יכול להשתפר? האם ראינו כבר את כל קפיצות הדרך בטכנולוגיה בשנים האחרונות, או שיש לה עוד כמה רמות לעלות?

אני משתדל להתחמק מדיון הכן-AI, לא-AI. האם יש דברים שאנשים עוד יכולים לעשות טוב יותר או לא? נראה לי שכן; נראה לי שהתשובה תמיד תהיה כן. אבל כמו כולם אני מדבר ממקום של אידיאולוגיה ולא ידע. אני כן חושב שלהשתמש ב-AI בצורה מוגזמת זה לא כיף. אין בזה עידון, זה חסר finesse. זה מפריע לי בתור אדם שאוהב סיפורים. אין סיפור פחות מגניב כיום מ-"ביקשתי מה-AI לעשות את זה". אין דבר שאני פחות רוצה לקרוא מ-"תראה מה ה-AI כתב לי!".

אנחנו בעידן ה-AI במתמטיקה. יקח שנים עד שהאבק ישקע ונוכל לבחון אותו בשקט. אז אל תאמינו לרואי השחורות וגם אל תאמינו לאופטימיים – הם לא יודעים יותר טוב ממכם. אתם כן יכולים אולי לנסות לתפוס מחסה עד יעבור זעם. כי עד כמה ש-AI שימושי ומרשים, זאת גם טכנולוגיה שמרגישה מאד אנטי-אינטלקטואלית.