יומיות 23.03.2022: על הדמיון בין עצמים

האייטם הראשון מוזר. מוזר. למה? כי אני כותב לעיתים יותר נדירות השנה, אז יוצא פחות על נושאים אקטואליים ויותר פילוסופיה על-זמנית.

בנושא אחר: אני סוף סוף בחופשה קצרה! בימים הקרובים אני בעיירה הציורית המקסימה Ilawa (הוגים: איוובה) בפולין. המון אגמים, כמה מסעדות טובות, דירת קרקע גדולה עם חצר. תמונות? בפוסט הבא.

1. האייטם הזה מדבר על המושג דמיון. אבל לא דמיון בקטע של דמיינתי "פיל מיניאטורי סגול פרוותי עם כנפיים במקום זנב מתעופף על בננה" (זה יהיה בפוסט על בירה), אלא דמיון בקטע של פיל דומה לקרנף. כלומר, מתישהו משהו אחד דומה למשהו אחר?

נשמע נושא מגה-מוזר? תאשימו את הספר Shapes של המתמטיקאי ג'ורדן אלנברג שגרם לי לחשוב עליו.

Shapes מדבר על צורות, ומתי צורה א' דומה לצורה ב'? תחשבו משפטי החפיפה מגיאומטריה של התיכון. מהרגע שהתחלתי לחשוב על המושג דמיון גיליתי שהוא בכל מקום – גם במתמטיקה וגם בעולם האמיתי, ושבא לי להתפלסף עליו קצת.

זה אייטם ארוך קצת, אז נחלק אותו לתתי כותרות, ושאר האייטמים בפוסט יהיו קצרצרים.

חמש פסקאות על הספר Shapes.
Shapes הוא הספר השני של אלנברג שאני קורא, אחרי How Not to Be Wrong (הפנטסטי). ב-How not to be wrong אלנברג הצליח להסביר בצורה פשוטה כמה קונספטים מתמטיים מסובכים למדי — ואז עוד הגדיל והסביר איך הם מיושמים בחיי היום-יום! נשבע לכם, למדתי מהספר הזה מתמטיקה שהשתמשתי בה בחיי המקצועיים.

Shapes נפתח בדיאלוג קורע לב בו אלנברג מספר כמה הראיה והדמיון החזותי שלו מוגבלים (דמעה דמעה). הוא אף פעם לא מבין אינפוגרפיקה והולך לאיבוד מול גרפים. אגב, אני בול אותו הדבר.

בחלק הראשון של Shapes אלנברג מדבר על צורות גיאומטריות, ואומר עליהן שם כמה דברים שאפילו תלמיד תיכון יכול להבין. בחלק השני הוא עושה Leap of faith, מחליט שצורות יש בכל מקום בעצם! ואז הולך ומדבר על כל תחום מתמטי טרנדי שתפס את תשומת ליבו בשנים האחרונות. מתנועה בראונית, דרך תורת המשחקים ועד Machine Learning.

אלנברג מעולה בתור כותב שמצליח להסביר מתמטיקה במילים פשוטות. הוא יודע לפשט רעיונות מתמטיים לגרעין שלהם שאפשר להסביר בשפה אנושית. מצד שני, הוא לא משהו בתור סופר. רמת הכתיבה שלו אולי ברורה אבל מעבר לכך ממוצעת מינוס.

מה שתפס אותי בספר זה איך מחליטים מתי צורות גיאומטריות דומות אחת לשניה. אז יאללה – דמיון.

הדמיון בעיני המתבונן.
הייתה לאחרונה סערונת עם וופי גולדברג. היא אמרה שהשואה לא הייתה בגלל גזענות, כי זה היה אותו הגזע (הלבן) תוקף את אותו הגזע (הלבן).  בהוויה האמריקאית, היא הסבירה, גזע מדבר על צבע עור.

מאז גולדברג התנצלה, ואמרה שהיא מבינה שהנאצים ראו ביהודים גזע אחר (למרות שיש לנו אותו צבע עור).

מה שלמדתי מאז זה ש – עזבו בסיס מדעי – לכל אחד יש הבנה שונה של הנושא.

אני  חשבתי שכולנו אותו הגזע (גזע האדם) – וגזענות זה לחשוב אחרת. אבל גיליתי שהרבה אנשים כן מחלקים את האנושות לגזעים על בסיס מראה חיצוני דומה – אבל לא משליכים ממראה על על מה קורה בתוך האדם. מהם הגזעים? מי דומה למי? תשאלו 100 אנשים תקבלו 100 תשובות שונות. כי הדמיון הוא בעיני המתבונן.

אותו הדבר – תראו איזה דילוג אקרובטי אני עושה פה – במתמטיקה! אין דבר כזה עצמים מתמטיים דומים, אלא השאלה היא איך מגדירים דומות.

אפשר לאמר שכל העצמים באותו הגודל דומים. אפשר לאמר שכל הצורות עם אותו מספר פינות דומים (ואז כל הריבועים דומים, לא משנה הגודל, אבל כל מרובע שונה ממשולש). אפשר אפילו להגדיל ולאמר שכל העצמים המתמטיים דומים בזה שכולם עצמים מתמטיים.

כשמתמטיקאיים באים לחפש איזה עצמים דומים, הם דבר ראשון חייבים להגדיר מה הם מתכוונים בדומות.

זה לא משהו שקל לנו לעשות בתור בני אדם. אנחנו מעדיפים לחשוב שמלבן דומה למרובע זה דבר אובייקטיבי, וכל מי שחושבים אחרת לא מבינים מהחיים שלהם. אבל האמת היא שהדומות היא בעיני המתבונן, לא בעיני העולם.

לא כל העצמים דומים באותה המידה.
אפשר לאמר שפיל דומה להיפופוטם (כי שניהם יונקים ענקיים), ושגם פיל דומה לברווז (כי שניהם חיות) – אבל רוב האנשים גם יוסיפו שפיל דומה לקרנף יותר ממה שפיל דומה לברווז.

טופולוגיה
על סמך התובנה הקודמת אפשר לבנות מתמטיקה. בלי מספרים ובלי כלום.

ארחיב.

אחד הקורסים שאהבתי בתור סטודנט היה טופולוגיה. למרות השם המוזר להפליא, טופולוגיה הוא נושא שמבוסס על מספר קטן של הנחות, ומשם מפליגים לכמות מדהימה של מסקנות ומתמטיקה. אהבתי את הקורס בגלל מיעוט הנוסחאות הטכניות. הרבה שם מבוסס לוגיקה והגדרות – הדברים שבשבילם אני במתמטיקה.

עם כל זה, לא הבנתי אף פעם מה הרעיון מאחורי טופולוגיה. זה אחד הדברים המדהימים בלהיות סטודרנט למתמטיקה. אתה יכול לפתור בעיות ואפילו לעבור קורס עם ציון מושלם, בלי להבין רגע על מה הקורס באמת.

כיום אני מסתכל על טופולוגיה כעל נושא שמדבר על איזה עצמים דומים אחד לשני – ומי דומה למי יותר. ממש כמו המשפט "פיל דומה לקרנף, ופיל דומה לברווז, אבל פיל דומה יותר לקרנף מאשר לברווז".

מהרעיון הפשוט הזה של דומות, טופולוגיה עפה לתורה מתמטית שלמה בלי להשתמש אפילו במספר אחד. כמות התוצאות שאפשר להגיע אליהן מדהימה.

אנחנו חיים בעידן בו יש אובססיה להצמיד מספר להכל. התוכניתן הממוצא לא יסתפק בכך שפיל דומה לקרנף, אלא הוא ירצה לאמר שפיל דומה לקרנף בעוצמה 7 (נגיד). למרות שהרבה פעמים אין ב-7 הזה שום הגיון. יש דברים שלא צריך להצמיד להם מספר. יש דברים שאי אפשר להצמיד להם מספר.

טופולוגיה מראה שבהרבה מקרים במספרים אין צורך. אין להם כמעט משמעות בהקשרים מסוימים. המושג "דמיון" לבדו מספיק כדי לעשות איתו דברים מאד מרשימים.

2. גרסאות באנגלית שאפשר לשחק בהן של משחקי מחשב סלובקיים מסוף שנות ה-80. הנה תמונה מאחד.

3. אז Whetsone הוא מגזין חובבני על ספרות חרבות וכשפים זולה. יש לו כבר 4 גליונות באתר ופשוט כיף שאנשים יוצרים כאלה דברים.

4. בינה מלאכותית שוברת שיא בטטריס עם שלב 237 ו-102 מליון נקודות.

5. לפני שנתיים, כשהתחילה הקורונה, כתבתי על I'm sorry John. תת ערוץ ברדדיט שמפגיש את גארפילד וקת'לוהו, בלי צחוק. עכשיו גיליתי סרט שסוקר את מה שהאינטרנט עושה לגארפילד – ואלו הרבה דברים מוזרים.